EXAMEN 2DO PARCIAL
Dependencia e Independencia Lineal, Wronskiano.
DE DOS FUNCIONES y1(x) y y2(x) son lienalmente dependientes en un intervalo abierto, donde ambas estan definidassi son proporcionales en dicho intervalo esto es:
si y1=k1y2 o y2=k2y1
donde:
k1 y k2 son constantes.
INDEPENDENCIA LINEAL
Si y1(x) y y2(x) son proporcionales en el intervalo son linealmente independientes en el mismo. si y1/y2 es una constante entonces las funciones son linealmente dependientes. Si y1/y2 es una funcion de x, entonces las funciones son linealmete independientes.
ejemplos:
1).- y1=x y2=2x
y1/y2=x/2x=1/2
entonces es linealmente dependientes2).- y1=℮−2x y2=1/4℮−2x
y1/y2= ℮−2x/1/4℮−2x=4
entonces es linealmente dependiente3).- y1=7 y2=x2
y1/y2=7/x2 DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL CON EL METODO WRONSKIANO
Las funciones y1(x1), y2(x2),…,yn(xn)
son lienalmente dependientes en el intervalo, si al menos una de ellas puede expresarse como combinacion lineal de las otras.
en caso contrario las funciones son linealmente independientes.
wronskiano igual a cero es dependientes
wronskiano diferente de cero independiente
se toman las tres funciones y en columnas cada una de esas funciones se deriva para ir llenando el wronskiano despues tomamos las dos primeras columnas y las acomodamos a la derecha de las otras.
multiplicamos en forma cruzada primero de izquierda a derecha y despues retamos de derecha a izquierda, al final sumamos y nos da el wronskiano.
ejemplos:
1).- y1=℮x y2=℮-x y3=℮2x
w= ℮x ℮-x ℮2x ℮x ℮-x
℮x -℮-x 2℮2x ℮x -℮-x
℮x ℮-x 4℮2x ℮x ℮-x
w=−4℮2x+2℮2x+℮2x+℮2x−2℮2x−4℮2x
w=−6℮2x
por lo tanto es linealmente independiente
2).- y1=x y2=2x w= x 2x
1 2
w=2x-2x=0
por lo tanto es linealmente dependiente Unidad 2. Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior. 2.1 Definición de ecuación diferencial de orden n
- Ahora estudiaremos las ecuaciones diferenciales de segundo orden o de orden superior. Examinaremos una parte de la teoría en que se basan las ecuaciones diferenciales lineales, después aprenderemos a resolver ecuaciones diferenciales lineales de orden superior.
- Es frecuente, en numerosos problemas de mecánica o teoría de circuitos eléctricos, que las ecuaciones que rigen los procesos sean de orden mayor que uno.
- Por lo tanto, es necesario trabajar con ecuaciones diferenciales de orden superior.
- Una ecuación diferencial ordinaria de orden n es una ecuación que liga la variable independiente x, una función incógnita y = y (x) y sus derivadas sucesivas (y´, y´´, . . , yn), es decir, es una expresión, bien de la forma: F(x, y, y´, y´´´,…,y(n))=0(forma implícita)
- O bien, si se puede despejar la derivada de mayor orden, y(n) = f (x, y, y´, . . , y(n−1)) (forma explícita).Para resolver ecuaciones de orden superior, es natural preguntar si ellas pueden de alguna manera se reducidas a ecuaciones de primer orden, las cuales puedan luego resolverse.
Realmente hay dos tipos importantes de ecuaciones de alto orden que pueden resolverse fácilmente de esta manera. Como ya hemos encontrado en la unidad uno, la ecuación diferencial más simple que puede surgir es aquella que puede integrarse directamente.
1.- Verifica si la función y = c1 + c2x2 es solución de la ecuación diferencialxy´´ – y ´= 0, Con las condiciones iniciales y(0) = 0, y´(0)=1resultado : y`=2C2X x2C2-2c2x=0y``=2C2 0=0.4 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneasSe dice que una ecuación lineal de enésimo orden de la forma:
Es homogénea. Se abrevia EDLH
Una ecuación del tipo
Con g(x), no idéntica a cero, es no homogénea.M(x, y) dx + N(x, y) dy=0
Un polinomio homogéneo es aquel en el que todos los términos son del mismo grado. La ecuación diferencial homogénea es de la siguiente forma:
Una ecuación que casi siempre puede transformarse en una ecuación con variables separables es de la forma:
dy/dx= f(y/x)
y cualquier ecuación que es o que se pueda escribir en esta forma se llama ecuación diferencial homogénea.
